중단원 평가 Ⅳ-2 정적분
다음은 곡선 [eqn: y=x ^{3}]과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구분구적법을 이용하여 구하는 과정이다. 01 구간 [eqn: [0,~2]]를 [eqn: n]등분하면 양 끝 점과 각 분점의 [eqn: x]좌표 는 앞에서부터 차례대로 [eqn: 0,~ {2} over {n} ,~ {4} over {n} ,~ CDOTS ,] [eqn: {2(n-1)} over {n} ,~2] 이므로 위의 그림의 직사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라고 하면 구하는 넓이 [eqn: S]는 [eqn: S= lim _{n -> INF } {S _{n}} = lim _{n -> INF } {BOX{~~~}} ``=4] 위의 과정에서 [eqn: box````````] 안에 알맞은 식은? • 3점 ① [eqn: {1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{3}] ② [eqn: {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{3}] ③ [eqn: {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) ^{3}] ④ [eqn: {2} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) ^{3}] ⑤ [eqn: {2} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) ^{3}] [eqn: int _{1} ^{4} {x ^{4} dx} = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {ak} over {n} RIGHT ) ^{4} ․` {b} over {n}}]일 때, 상수 02 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? • 4점 ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]	급수 [eqn: lim _{n -> INF } {{2} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2+ {2k} over {n} RIGHT ) ^{4}}]을 정적분으로 나타낼 때, 다음 중 옳지 않은 것은? 03 • 4점 ① [eqn: 32 int _{ 0} ^{ 1} { (1+x)^4`dx}] ② [eqn: 32 int _{ 1} ^{2 } {x^4`dx }] ③ [eqn: 32 int _{ -2} ^{-1 } {x^4`dx }] ④ [eqn: int _{ 0} ^{2 } {(2+x)^4`dx }] ⑤ [eqn: int _{ 1} ^{3 } {x^4`dx }] 다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=4x ^{3}]일 때, 04 [eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {n} LEFT { f LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) +f LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) +` CDOTS `+f LEFT ( {n} over {n} RIGHT ) RIGHT }}]의 값은? • 4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {(t ^{3} -5t ^{2} +3)dt}]에 대하여 05 [eqn: lim _{x->3} {{f(x)-f(3)} over {x-3}}]의 값은? • 3점 ① [eqn: -15] ② [eqn: -13] ③ [eqn: -11] ④ [eqn: -9] ⑤ [eqn: -7]

중단원 평가
[eqn: lim _{h->0} {{1} over {h} int _{1-h} ^{1+2h} {LEFT ( 2x ^{2} -x+a RIGHT ) dx}} =4]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? 06 • 4점 ① [eqn: {1} over {3}] ② [eqn: {2} over {3}] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: {4} over {3}] ⑤ [eqn: {5} over {3}] 다항함수 [eqn: f(x)]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 07 [eqn: f(x)=2x+ int _{0} ^{2} {(4x-3)f(t)dt}] 를 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx}]의 값은? • 4점 ① [eqn: -4] ② [eqn: -3] ③ [eqn: -2] ④ [eqn: -1] ⑤ [eqn: 0] 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 08 [eqn: int _{2} ^{3} {LEFT { 3x ^{2} -2f prime (x) RIGHT } dx} =1,~f(2)=-3] 일 때, [eqn: f(3)]의 값은? • 4점 ① [eqn: 0] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 8]	정적분 09 [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( 1+2x+3x ^{2} +` CDOTS `+100x ^{99} RIGHT ) dx}] 의 값은? • 3점 ① [eqn: -100] ② [eqn: -50] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 50] ⑤ [eqn: 100] [eqn: a _{n} = int _{0} ^{n} {(2x-1)dx}]일 때, [eqn: sum _{n=2} ^{INF } {1} over {a _{n}}]의 값은? 10 • 4점 ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 정적분 [eqn: int _{-1} ^{k} {(4x+1)dx}]의 값이 최소가 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값을 [eqn: m], 그때의 정적분의 최솟값을 [eqn: n]이라고 할 때, [eqn: mn]의 값은? 11 • 5점 ① [eqn: {3} over {2}] ② [eqn: {9} over {8}] ③ [eqn: {3} over {4}] ④ [eqn: {9} over {16}] ⑤ [eqn: {9} over {32}]

중단원 평가
함수 [eqn: f(x)= LEFT | `x` RIGHT | + LEFT | `x+1` RIGHT |]의 최솟값을 [eqn: a]라고 할 때, [eqn: int _{-2} ^{a} {f(x)dx}]의 값은? 12 • 5점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 이차함수 [eqn: f(x)=x ^2 +ax+b]에 대하여 13 [eqn: INT _{ -1 } ^{ 1 } { f(x)dx=1,``` INT _{ -1 } ^{ 1 } { xf(x)dx=2]가 성립할 때, [eqn: ab]의 값은? • 4점 ① [eqn: - 1 over 3] ② [eqn: - 1 over 2] ③ [eqn: - 2 over 3] ④ [eqn: 1 over3] ⑤ [eqn: 1 over 2] 함수 [eqn: f(x)]가 14 [eqn: ~~ int _{-1} ^{x} {(x-t)f(t)dt}# =(x-1) ^{3} +a(x-1) ^{2} +b(x-1)+1] 을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? • 5점 ① [eqn: {17} over {2}] ② [eqn: {35} over {4}] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: {37} over {4}] ⑤ [eqn: {19} over {2}]	연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킨다. [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx} =2]일 때, 정적분 [eqn: int _{-3} ^{3} {f(x)dx}]의 값은? 15 • 5점 ㈎ [eqn: f(-x)=f(x)] ㈏ [eqn: f(x-1)=f(x+1)] ① [eqn: 12] ② [eqn: 15] ③ [eqn: 18] ④ [eqn: 21] ⑤ [eqn: 24] 함수 [eqn: f(x)=4x ^{3} +6x ^{2} +x-1]에 대하여 16 [eqn: int _{1} ^{5} {f(x)dx} - int _{2} ^{5} {f(x)dx} - int _{1} ^{-2} {f(x)dx}]의 값은? • 5점 ① [eqn: 20] ② [eqn: 22] ③ [eqn: 24] ④ [eqn: 26] ⑤ [eqn: 28] 서 답 형 서 술 형 오른쪽 그림과 같이 밑면의 17 반지름의 길이가 [eqn: 3]이고, 높이가 [eqn: 6]인 원뿔의 부피 [eqn: V]를 구분구적법 을 이용하여 구하여라. • 5점

중단원 평가
함수 [eqn: f(x)=3x ^{2} -1]에 대하여 18 [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) ․ {3} over {n}}]의 값을 구하여라. • 4점 [eqn: lim _{n -> INF } {{n ^{2} (1 ^{4} +2 ^{4} +3 ^{4} +` CDOTS `+n ^{4} )} over {LEFT ( 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +` CDOTS `+n ^{2} RIGHT ) LEFT ( 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} +` CDOTS `+n ^{3} RIGHT )}}] 19 의 값을 구하여라. • 5점 서 술 형 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 20 [eqn: xf(x)- {1} over {2} x ^{4} -x ^{3} +x ^{2} = int _{1} ^{x} {f(t)dt}] 를 만족시킬 때, [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하여라. • 5점	함수 [eqn: f(x)]가 21 [eqn: f(x)= cases{2 _{{} _{{} _{}}} -x ^{2}&~(x LEQ 1)#2-x&~(x>1)}] 를 만족시킬 때, [eqn: int _{-1} ^{2} {xf(x+1)dx}]의 값을 구하여라. • 5점 서 술 형 이차방정식 [eqn: x ^{2} -5x+3=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha ,~ beta] [eqn: ( alpha < beta )]라고 할 때, [eqn: int _{alpha } ^{beta } {LEFT ( x ^{2} -5x+3 RIGHT ) dx}]의 값을 구하여라. 22 • 5점 서 술 형 이차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차 23 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른 쪽 그림과 같다. [eqn: g(x)= int _{x} ^{x+1} {f(t)dt}] 라고 할 때, 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값을 구하여라. • 5점

정적분

정답 및 풀이

Ⅳ-2

1. ⑤	2. ④	3. ⑤	4. ①	5. ①

6. ①	7. ①	8. ④	9. ⑤	10. ④

11. ⑤	12. ⑤	13. ⑤	14. ④	15. ①

16. ⑤	17. [eqn: 18pi]	18. [eqn: 36]	19. [eqn: {12} over {5}]	20. [eqn: 5]

21. [eqn: - {19} over {12}]	22. [eqn: `- {13 sqrt {13}} over {6}] 23. [eqn: - {13} over {3}]

[eqn: S _{n}]은 밑변의 길이가 [eqn: {2} over {n}]이고, 높이가 각각 [eqn: LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) ^{3} ,]

1

[eqn: LEFT ( {4} over {n} RIGHT ) ^{3} ,~ CDOTS ,~ LEFT ( {2n} over {n} RIGHT ) ^{3}]인 직사각형의 넓이의 합이므로

[eqn: S _{n} & = {2} over {n} LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) ^{3} + {2} over {n} LEFT ( {4} over {n} RIGHT ) ^{3} +` CDOTS `+ {2} over {n} LEFT ( {2n} over {n} RIGHT ) _{{} _{{} _{{} _{}}}} ^{3}# & = {2} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: f(x)=x ^{4}]이라고 하면 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌 구간

2

[eqn: [1,~4]]에서 연속이므로 정적분의 정의에 의하여

[eqn: TRIANGLE x= {3} over {n} ,~x _{k} =1+k TRIANGLE x=1+ {3k} over {n}]

[eqn: int _{1} ^{4} {x ^{4} dx} & = lim _{n -> INF } {sum _{k=1 _{{} _{{} _{{} _{}}}}} ^{n} f(x _{k} ) TRIANGLE x}# & = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {3k} over {n} RIGHT ) ^{4}} {3} over {n}]

따라서 [eqn: a=3,~b=3]이므로    [eqn: a+b=6]

①, ②, ③ [eqn: { k } over { n } = x,````` { 1 } over { n } = dx]로 놓으면

3

[eqn: { { lim _{n rarrow INF } { 2 } over { n } SUM from { k=1 } to { n }left (2+ { 2k } over { n } right) ^{ 4 }][eqn: = INT _{ 0 } ^{ 1 } ( { 2+2x) } ^{ 4 } CDOT 2`dx]

[eqn: =32 INT _{ 0 } ^{ 1 } (1+x) ^ 4 dx][eqn: =32 int _{1} ^{2} {x ^{4} dx}][eqn: =32 int _{-2} ^{-1} {x ^{4} dx}]

④ [eqn: { 2k } over { n } = x,````` { 2 } over { n } = dx]로 놓으면

[eqn: lim _{n rarrow INF } { 2 } over { n } SUM from { k=1 } to { n } left(2+ { 2k } over { n } right) ^4][eqn: { { = INT _{ 0 } ^{ 2 } { ( { 2+x) } ^{ 4 }dx`]

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} LEFT { f LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) +f LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) +` CDOTS `+f LEFT ( {n} over {n} RIGHT ) RIGHT }}]

4

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}]

에서 [eqn: a=0,~b=1]이라고 하면

[eqn: TRIANGLE x= {b-a} over {n} = {1} over {n} ,~x _{k} =a+k TRIANGLE x= {k} over {n}]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}][eqn: = int _{0} ^{1} {4x ^{3} dx} = LEFT [ x ^{4} RIGHT ] _{0} ^{1} =1]

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {(t ^{3} -5t ^{2} +3)dt}]에서

5

[eqn: f'(x)=x ^{3} -5x ^{2} +3]

[eqn: THEREFORE ` lim _{x -> 3} {{f(x)-f(3)} over {x-3}} =f prime (3)=-15]

[eqn: f(x)=2x ^{2} -x+a], [eqn: F``'(x)=f(x)]로 놓으면

6

[eqn: lim _{h -> 0} {{1} over {h} int _{1-h} ^{1+2h} {LEFT ( 2x ^{2} -x+a RIGHT ) dx}}]

[eqn: = lim _{h->0} {{1} over {h} int _{1-h} ^{1+2h} {f(x)dx}}]

[eqn: = lim _{h->0} {{F(1+2h)-F(1-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h->0} {{LEFT { F(1+2h)-F(1) RIGHT } - LEFT { F(1-h)-F(1) RIGHT }} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{F(1+2h)-F(1)} over {2h} ㆍ2} _{{} _{}}# ~~- lim _{h -> 0} {{F(1-h)-F(1)} over {-h} ㆍ(-1)}]

[eqn: =3F`` prime (1)=3f(1)=3a+3]

즉 [eqn: 3a+3=4]이므로    [eqn: a= {1} over {3}]

[eqn: int _{0} ^{2} {f(t)dt} =a]로 놓으면

7

[eqn: f(x)=2x+ int _{0} ^{2} {(4x-3)f(t)dt}]

[eqn: ``=2x+4x int _{0} ^{2} {f(t)dt} -3 int _{0} ^{2} {f(t)dt}]

[eqn: ``=2(1+2a)x-3a]

이때 [eqn: int _{0} ^{2} {f(t)dt} = int _{0} ^{2} {LEFT { 2(1+2a)t-3a RIGHT } dt} =a]이므로

[eqn: LEFT [ (1+2a)t ^{2} -3at RIGHT ] _{0} ^{2} =4+2a=a]

따라서 [eqn: a=-4]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx} =-4]

[eqn: int _{2} ^{3} {LEFT { 3x ^{2} -2f'(x) RIGHT } dx} =left[x ^{3} -2f(x)right] _{2} ^{3}]

8

[eqn: = LEFT { 27-2f(3) RIGHT } - LEFT { 8-2f(2) RIGHT }]

[eqn: =13-2f(3)]  [eqn: ( BECAUSE `f(2)=-3)]

즉 [eqn: 13-2f(3)=1]이므로    [eqn: f(3)=6]

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( 1+2x+3x ^{2} +` CDOTS `+100x ^{99} RIGHT ) dx}]

9

[eqn: =2 int _{0} ^{1} {LEFT ( 1+3x ^{2} +5x ^{4} +` CDOTS `+99x ^{98} RIGHT ) dx}]

[eqn: =2 LEFT [ x+x ^{3} +x ^{5} +` CDOTS `+x ^{99} ` RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: =100]

[eqn: a _{n} = int _{0} ^{n} {(2x-1)dx} =left[x ^{2} -x`right] _{0} ^{n} =n ^{2} -n]이므로

10

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } {1} over {a _{n}} = lim _{n -> INF } {} sum _{k=2} ^{n} {1} over {a _{k}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} sum _{k=2} ^{n} {1} over {k ^{2} -k} = lim _{n -> INF } {} sum _{k=2} ^{n} LEFT ( {1} over {k-1} - {1} over {k} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n-> INF } {LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT ( 1- {1} over {n} RIGHT )} =1]

[eqn: int _{-1} ^{k} {(4x+1)dx} =left[2x ^{2} +x`right] _{-1} ^{k}]

11

[eqn: =2k ^{2} +k-1]

[eqn: =2 LEFT ( k+ {1} over {4} RIGHT ) ^{2} - {9} over {8}]

이므로 [eqn: int _{-1} ^{k} {(4x+1)dx}]는 [eqn: k=- {1} over {4}]일 때 최솟값

[eqn: - {9} over {8}]를 갖는다.

따라서 [eqn: m=- {1} over {4}], [eqn: n=- {9} over {8}]이므로    [eqn: mn= {9} over {32}]

[eqn: x GEQ 0]일 때,    [eqn: f(x)=x+(x+1)=2x+1]

12

[eqn: -1 LEQ x LEQ 0]일 때,    [eqn: f(x)=-x+(x+1)=1]

[eqn: x LEQ -1]일 때,    [eqn: f(x)=-x-(x+1)=-2x-1]

따라서 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: 1]이므로    [eqn: a=1]

[eqn: THEREFORE ` int _{-2} ^{a} {f(x)dx} = int _{-2} ^{1} {f(x)dx}]

[eqn: = int _{-2} ^{-1} {(-2x-1)dx} + int _{-1} ^{0} {1dx} + int _{0} ^{1} {(2x+1)dx}]

[eqn: = LEFT [ -x ^{2} -x` RIGHT ] _{-2} ^{-1} + LEFT [ x` RIGHT ] _{-1} ^{0} + LEFT [ x ^{2} +x` RIGHT ] _{0} ^{1} =5]

[eqn: INT _{ -1 } ^{ 1 } f(x)dx=2` INT _{ 0 } ^{ 1 } { ( { x } ^{ 2 } +b)dx=2 left( { 1 } over { 3 } +b right)=1]

13

에서     [eqn: b= { 1 } over { 6 }]

[eqn: int _{-1} ^{1} {} xf(x)dx=`2 int _{0} ^{1} {ax ^{2} dx`=2 LEFT [ {1} over {3} ax ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1} = {2a} over {3} =2}]

에서    [eqn: a= { 3]

[eqn: THEREFORE```` ab= 3 cdot 1 over 6 = 1 over 2]

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

14

[eqn: 0=-8+4a-2b+1]

[eqn: THEREFORE `4a-2b=7]	⋯㉠

주어진 등식에서

[eqn: x int _{-1} ^{x} {f(t)dt} - int _{-1} ^{x} {tf(t)dt}]

[eqn: =(x-1) ^{3} +a(x-1) ^{2} +b(x-1)+1]

[eqn: THEREFORE `x int _{-1} ^{x} {f(t)dt- int _{-1} ^{x} {tf(t)dt}]

[eqn: =x ^{3} +(a-3)x ^{2} -(2a-b-3)x+a-b}]

이 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: int _{-1} ^{x} {f(t)dt}][eqn: =3x ^{2} +2(a-3)x-(2a-b-3)]	⋯㉡

㉡의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 0=3-2(a-3)-(2a-b-3)]

[eqn: THEREFORE `4a-b=12]	⋯⋯㉢

㉠, ㉢에서    [eqn: a= {17} over {4} ,~b=5]

[eqn: THEREFORE `a+b= {37} over {4}]

조건 ㈎에서 [eqn: f(x)]는 우함수이고[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx} =2]이므로    [eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx} =2 int _{0} ^{1} {f(x)dx} =4]

15

조건 ㈏에서 [eqn: x]대신 [eqn: x+1]을 대입하면

[eqn: f(x)=f(x+2)]이므로

[eqn: int _{-3} ^{-1} {f(x)dx} = int _{-1} ^{1} {f(x)dx} = int _{1} ^{3} {f(x)dx}]

[eqn: THEREFORE ` int _{-3} ^{3} {f(x)dx} =3 int _{-1} ^{1} {f(x)dx} =12]

[eqn: int _{1} ^{5} {f(x)dx} - int _{2} ^{5} {f(x)dx} - int _{1} ^{-2} {f(x)dx}]

16

[eqn: = int _{1} ^{5} {f(x)dx} + int _{5} ^{2} {f(x)dx} + int _{-2} ^{1} {f(x)dx}]

[eqn: = int _{-2} ^{2} {f(x)dx} =2 int _{0} ^{2} {(6x ^{2} -1)dx}]

[eqn: =2 LEFT [ 2x ^{3} -x` RIGHT ] _{0} ^{2} =28]

오른쪽 그림과 같이

17

|해결 과정|

원뿔의 높이를 [eqn: n]등분하여 각

분점을 지나면서 밑면에 평행한

평면으로 원뿔을 자른 단면의

반지름의 길이는 위에서부터

차례대로

[eqn: {3} over {n} ,~ {2`․`3} over {n} ,~ {3`․`3} over {n} ,~ CDOTS ,~ {(n-1)`․`3} over {n}]

각 단면을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: {6} over {n}]인 [eqn: (n-1)]개의 원기둥의 부피의 합을 [eqn: V _{n}]이라고 하면

[eqn: V _{n} = pi LEFT ( {3} over {n} RIGHT ) ^{2} ․` {6} over {n} + pi LEFT ( {2․3} over {n} RIGHT ) _{{} _{{} _{{} _{}}}} ^{2} ․` {6} over {n} +` CDOTS `# ~~~~~+ pi LEFT { {(n-1)․3} over {n} RIGHT } ^{2} ․` {6} over {n}]

[eqn: = {pi ․3 ^{2} ․`6} over {n _{{} _{{} _{{} _{}}}} ^{3}} LEFT { 1 ^{2} +2 ^{2} +` CDOTS `+(n-1) ^{2} RIGHT }# = {54 pi } over {n _{{} _{{} _{{} _{}}}} ^{3}} sum _{k=1} ^{n-1} k ^{2}]

[eqn: `= {9 pi n(n-1)(2n-1)} over {n ^{3}}]

• 4점

[eqn: THEREFORE `V= lim _{n-> INF } {V _{n}} =18pi]

|답 구하기|

• 1점

[eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) ․ {3} over {n}}]

18

[eqn: = {3} over {2} ` lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) ․ {2} over {n}}]

[eqn: = {3} over {2} int _{1} ^{3} {f(x)dx} = {3} over {2} int _{1} ^{3} {LEFT ( 3x ^{2} -1 RIGHT ) dx}]

[eqn: = {3} over {2} left[x ^{3} -x right] _{1} ^{3} =36]

[eqn: lim _{n -> INF } {{n ^{2} (1 ^{4} +2 ^{4} +3 ^{4} +` CDOTS `+n ^{4} )} over {LEFT ( 1 ^{2} +2 ^{2} +` CDOTS `+n ^{2} RIGHT ) LEFT ( 1 ^{3} +2 ^{3} +` CDOTS `+n ^{3} RIGHT )}}]

19

[eqn: = lim _{n-> INF } {} LEFT { n ^{2} ㆍ {n ^{4} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{4}} over {n ^{2} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} ㆍn ^{3} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{3}} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n-> INF } {} {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{4}} over {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} ㆍ {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{3}}]

[eqn: = { int _{0} ^{1} {x ^{4} dx}} over { int _{0} ^{1} {x ^{2} dx} ㆍ int _{0} ^{1} {x ^{3} dx}}]

[eqn: = {{1} over {5}} over {{1} over {3} ㆍ {1} over {4}} = {12} over {5}]

[eqn: xf(x)- {1} over {2} x ^{4} -x ^{3} +x ^{2} = int _{1} ^{x} {f(t)dt}]의

20

|해결 과정|

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)+xf'(x)-2x ^{3} -3x ^{2} +2x=f(x)]

[eqn: THEREFORE `f prime (x)=2x ^{2} +3x-2=(x+2)(2x-1)]

[eqn: f'(x)=0]에서    [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x= {1} over {2}]

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-2]일 때 극댓값을 갖는다.

[eqn: xf(x)- {1} over {2} x ^{4} -x ^{3} +x ^{2} = int _{1} ^{x} {f(t)dt}]의 양변에

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1)- {1} over {2} -1+1=0]    [eqn: THEREFORE `f(1)= {1} over {2}]

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {(2x ^{2} +3x-2)dx} = {2} over {3} x ^{3} + {3} over {2} x ^{2} -2x+C]

이므로    [eqn: f(1)= {2} over {3} + {3} over {2} -2+C= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE `C= {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE `f(x)= {2} over {3} x ^{3} + {3} over {2} x ^{2} -2x+ {1} over {3}]

• 4점

따라서 구하는 극댓값은 [eqn: f(-2)=5]이다.

|답 구하기|

• 1점

[eqn: f(x+1)= cases{2 _{{} _{{} _{}}} -(x+1) ^{2}&`(x+1 LEQ 1)#2-(x+1)&`(x+1>1)}]

21

[eqn: ``= cases{-x ^{2} -2x+1````&(x LEQ 0)#-x+1&(x>0)}]

이므로

[eqn: int _{-1} ^{2} {xf(x+1)dx}]

[eqn: = int _{-1} ^{0} {x(-x ^{2} -2x+1)dx}+ int _{0} ^{2} {x(-x+1)dx}]

[eqn: = int _{-1} ^{0} {LEFT ( -x ^{3} -2x ^{2} +x RIGHT ) dx} + int _{0} ^{2} {(-x ^{2} +x)dx}]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {4} x ^{4} - {2} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{-1} ^{0} + LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2}]

[eqn: =- {19} over {12}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -5x+3=0]의 두 근이 [eqn: alpha ,~ beta]이므로

22

|해결 과정|

[eqn: alpha + beta =5,~ alpha ` beta =3]	⋯⋯㉠

[eqn: int _{alpha } ^{beta } {LEFT ( x ^{2} -5x+3 RIGHT ) dx}]

[eqn: = int _{alpha } ^{beta } {LEFT { x ^{2} -( alpha + beta )x+ alpha ` beta RIGHT } dx}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} LEFT ( alpha + beta RIGHT ) x ^{2} + alpha ` beta `x RIGHT ] _{alpha} ^{beta}]

[eqn: =- {1} over {6} LEFT ( beta-alpha RIGHT ) ^{3}]

㉠에서

[eqn: beta - alpha = sqrt {( alpha + beta ) ^{2} -4 alpha ` beta } = sqrt {13}]

• 4점

[eqn: THEREFORE ` int _{alpha } ^{beta } {(x ^{2} -5x+3)dx} =- {1} over {6} LEFT ( sqrt {13} RIGHT ) ^{3}]

|답 구하기|

[eqn: `=- {13 sqrt {13}} over {6}]

• 1점

[eqn: f(x)=2x(x-3)=2x ^{2} -6x]이므로

23

|해결 과정|

[eqn: g prime (x)= {d} over {dx} int _{x} ^{x+1} {f(t)dt}]

[eqn: ``=f(x+1)-f(x)]

[eqn: ``=2(x+1) ^{2} -6(x+1)-(2x ^{2} -6x)]

[eqn: `=4x-4]

[eqn: g'(x)=0]에서    [eqn: x=1]

• 3점

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]일 때 극소이면서 최소이므로

|답 구하기|

[eqn: g(1)= int _{1} ^{2} {f(t)dt}]

[eqn: = int _{1} ^{2} {(2t ^{2} -6t)dt}]

[eqn: `= LEFT [ ` {2} over {3} t ^{3} -3t ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2}]

[eqn: =- {13} over {3}]

• 2점