중단원 평가 Ⅰ-2 급수
수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 급수 [eqn: left(a_1 over1 - 1over1^2 right) +left( a_2 over2 - 1+2 over3^2 right)+left( a_3 over3 - 1+2+3 over5^2 right)+`cdots`]이 수렴할 때, [eqn: lim_{n`->`inf}][eqn: {n-a_n}over{n+a_n}`]의 값은? 01 • 4점 ① [eqn: 1over2] ② [eqn: 2over3] ③ [eqn: 5over6] ④ [eqn: 7over9] ⑤ [eqn: 9over10] 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` {2(2n+3)}over{n(n+1)(n+2)(n+3)}]의 합은? 02 • 4점 ① [eqn: 1over2] ② [eqn: 2over3] ③ [eqn: 3over4] ④ [eqn: 4over5] ⑤ [eqn: 5over6] 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}`left(5- {an^2 +bn+1}over{3n+1} right)]이 수렴할 때, 상수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? 03 • 4점 ① [eqn: 5`] ② [eqn: 8`] ③ [eqn: 10`] ④ [eqn: 15`] ⑤ [eqn: 20`]	두 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`a_n`], [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`b_n]이 모두 수렴할 때, 수렴하는 급수만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? 04 (단, [eqn: a_n !=0], [eqn: n=1,``2,``3,``cdots]) • 4점 ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {a _{n} +b _{n}} over {2}] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `(a _{n} -a _{n+1} )`] ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {b _{n}}] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 05 [eqn: (3n-1)x+(3n+2)y=1]이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: { rm P} it rm _{n} ,~ {rm Q} it rm _{n}]이라고 하자. 삼각형 [eqn: {rm OP}_n {rmQ}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라고 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `S _{n}]의 값은? • 5점 ① [eqn: 1over18] ② [eqn: 1over16] ③ [eqn: 1over12] ④ [eqn: 1over10] ⑤ [eqn: 1over9] 수열 [eqn: left{a_n right}`]이 [eqn: a_1 =2`], [eqn: a_2 =3`], 06 [eqn: a_n+2 =a_n +a_n+1`][eqn: (n=1,``2,``3,``cdots)]로 정의될 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` a_n over{a_n+1 `a_n+2}]의 값은? • 5점 ① [eqn: 1over3] ② [eqn: 1over2] ③ [eqn: 2over3] ④ [eqn: 3over4] ⑤ [eqn: 5over6]

중단원 평가
수열 [eqn: left{a_n right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식 07 [eqn: n^2 over{2n^2 +1} `<`a_1 +a_2 +a_3 +`cdots+a_n `<` {n^2 +2}over {2n^2 +1}] 를 만족시킬 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`a_n`]의 값은? • 5점 ① [eqn: 1over4] ② [eqn: 1over2] ③ [eqn: 1`] ④ [eqn: 2`] ⑤ [eqn: 4`] 수열 [eqn: left{a_n right}`]이 [eqn: a_1 =4`]이고 08 [eqn: n`a_n+1 -(n+1)a_n =2n(n+1)``(n=1,``2,``3,``cdots)]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`1over a_n]의 값은? • 5점 ① [eqn: 1over8] ② [eqn: 1over6] ③ [eqn: 1over4] ④ [eqn: 1over3] ⑤ [eqn: 1over2] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {2 ^{n-3} -2 ^{n-2} +2 ^{n-1}} `= {b} over {a}]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 서로소인 자연수이다.) 09 • 4점 ① [eqn: 10`] ② [eqn: 11`] ③ [eqn: 12`] ④ [eqn: 13`] ⑤ [eqn: 14`]	이차방정식 [eqn: 9x ^{2} -6x-1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta ``]라고 할 때, [eqn: {1} over {beta - alpha } sum _{n=1} ^{INF } (` beta `` ^{n} - alpha ` ^{n} )]의 값은? 10 • 5점 ① [eqn: 5over2] ② [eqn: 3`] ③ [eqn: 7over2] ④ [eqn: 4`] ⑤ [eqn: 9over2] 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2^n`]을 분모로 하는 기약분수 중에서 [eqn: 0`]과 [eqn: 1`] 사이에 있는 수들의 총합을 [eqn: S_n`]이라고 하자. 예를 들어 [eqn: n=3`]일 때, 11 [eqn: S_3 = 1over 2^3 + 3over2^3 + 5over2^3 + 7 over 2^3 =2`]이다. 이때 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` 1over S_n]의 값은? • 5점 ① [eqn: 4`] ② [eqn: 9over2] ③ [eqn: 5`] ④ [eqn: 11over2] ⑤ [eqn: 6`] 상용로그 [eqn: log`1over A]의 정수 부분이 [eqn: -n]인 자연수 [eqn: A]의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` 18overa_n]의 값은? 12 • 5점 ① [eqn: 5over3] ② [eqn: 16over9] ③ [eqn: 20over9] ④ [eqn: 7over3] ⑤ [eqn: 25over9]

중단원 평가
수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여 [eqn: a_1 =1,~a_2 =1,] 13 [eqn: a_n +a_n+2 =a_n+1`][eqn: (n=1,``2,``3,``cdots)]이 성립할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` a_n over 2^n]의 값은? • 5점 ① [eqn: 1over3] ② [eqn: 1over2] ③ [eqn: 2over3] ④ [eqn: 3over4] ⑤ [eqn: 4over5] 다음 그림과 같이 좌표평면 위에 14 [eqn: rm bar{OP_1}=1], [eqn: rm bar{P _{1} P _{2}} = {1} over {2} ,] [eqn: rm bar{P _{it n+1} P _{it n+2}} = {1} over {2} rm bar{P _{it n} P _{it n+1}}] [eqn: (n=1,``2,``3,``cdots)]인 관계가 성립하도록 수직인 선분을 그려 나간다. 점 [eqn: rm A]가 원점 [eqn: rm O]를 출발하여 선분을 따라 점 [eqn: rm P_1 , ``P_2 ,`` P_3 , ``cdots]으로 차례대로 나아간다고 할 때, 점 [eqn: rm A]는 점 [eqn: (a,~b)]에 한없이 가까워진다. [eqn: a+b]의 값은? • 5점 ① [eqn: 5over3] ② [eqn: 2`] ③ [eqn: 7over3] ④ [eqn: 5over2] ⑤ [eqn: 3`]	오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 반원 [eqn: C_1`]에 반지름의 길이가 [eqn: {sqrt5 -1}over2]인 반원 [eqn: C_2]를 그리고, 또 반지름의 길이가 [eqn: left( {sqrt5 -1}over2 right)^2]인 반원 [eqn: C_3]을 그리고 반지름의 길이가 [eqn: left( {sqrt5 -1}over2 right)^3]인 반원 [eqn: C_4]를 그린다. 이와 같은 방법으로 반원을 한없이 그려 나갈 때, 모든 반원의 둘레의 길이의 합은? 15 • 5점 ① [eqn: {1+sqrt5}over2 pi`] ② [eqn: {2+sqrt5}over2 pi`] ③ [eqn: {3+sqrt5}over2 pi`] ④ [eqn: {4+sqrt5}over2 pi`] ⑤ [eqn: {5+sqrt5}over2 pi`] 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 10`]인 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]에 내접하는 원을 그린 후 원에 외접하고 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]의 꼭짓점을 공유하는 네 개의 정사각형 [eqn: F_1]을 그린다. 또 이 네 개의 정사각형과 원의 교점 [eqn: rm A_2], [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2], [eqn: rm D_2]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]에 내접하는 원을 그린 후 원에 외접하고 정사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]의 꼭짓점을 공유하는 네 개의 정사각형 [eqn: F_2]를 그린다. 이와 같은 방법으로 원과 정사각형을 그려 나갈 때, [eqn: n]번째 그려진 네 개의 정사각형 [eqn: F_n]의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라고 하자. 이때 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`S_n]의 값은? 16 • 5점 ① [eqn: 200-150sqrt2`] ② [eqn: 250-150sqrt2`] ③ [eqn: 250-200sqrt2`] ④ [eqn: 300-150sqrt2`] ⑤ [eqn: 300-200sqrt2`]

중단원 평가
서 답 형 서 술 형 수열 [eqn: left{a_n right}`]이 [eqn: {2^2 - 1^2 } over 1^2 , ~`` {3^2 - 2^2 } over {1^2 +2^2 } `,] 17 [eqn: {4^2 - 3^2 } over {1^2 + 2^2 +3^2 } ,~`` {5^2 -4^2}over{1^2 +2^2 +3^2 +4^2} ,``cdots`]일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf`}`a_n`]의 값을 구하여라. • 5점 모든 자연수 [eqn: k`]에 대하여 18 [eqn: 1over{sqrtk+1 `+sqrtk} < 1over{2 sqrtk} < 1over{sqrtk`+sqrt k-1`}] 이 성립함을 이용하여 극한값 [eqn: lim_{n->inf}` 1over {sqrt 2n+1} sum _{ k=1} ^{n }` 1over sqrtk`]을 구하여라. • 5점 서 술 형 집합 [eqn: A_n = left{ 1over2 ,~ 1over2^2 ,~ 1over2^3 ,~cdots,~ 1over2^n right}]의 서로 다른 두 원소의 곱의 합을 [eqn: S_n`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: A_4 = left{ 1over2 ,~ 1over2^2 ,~ 1over2^3 , ~ 1over2^4 right}]이므로 19 [eqn: S_4 = 1over2^3 + 1over2^4 + 2 over 2^5 + 1over2^6 + 1over2^7]이다. 이때 [eqn: lim_n->inf`S_n`]의 값을 구하여라. • 5점	각 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}`]이 20 [eqn: log`_0.4`a_1 `+log`_0.4`a_2 `+ `cdots`+log`_0.4`a_n`=2n^2 +n`][eqn: (n=1,``2,``3,``cdots)]을 만족시킨다. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}`a_n = b over a]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b`]는 서로소인 자연수이다.) • 5점 서 술 형 [그림 [eqn: 1]]과 같이 지름 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 4]인 원에서 원의 중심을 한 꼭짓점으로 하고 나머지 세 꼭짓점은 원주 위에 있는 두 개의 마름모를 그린 다음 각각의 마름모에 내접하는 원을 그린다. [그림 [eqn: 2]]와 같이 21 [그림 [eqn: 1]]에서 그려진 원의 중심을 한 꼭짓점으로 하고 나머지 세 꼭짓점은 원주 위에 있는 네 개의 마름모를 그린 다음 각각의 마름모에 내접하는 원을 그린다. 이와 같은 방법으로 마름모와 원을 그릴 때, 첫 번째에 그려진 [eqn: 2`]개의 원의 넓이의 합을 [eqn: S_1 ,] 두 번째에 그려진 [eqn: 2^2]개의 원의 넓이의 합을 [eqn: S_2 , ~``cdots ,] [eqn: n`]번째 그려진 [eqn: 2^n]개의 원의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라고 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `S _{n} `=` b over a pi`]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b`]는 서로소인 자연수이다.) • 5점 [그림 [eqn: 1]] [그림 [eqn: 2]]

급수

정답 및 풀이

Ⅰ-2

1. ④	2. ②	3. ④	4. ③	5. ③

6. ①	7. ②	8. ⑤	9. ②	10. ⑤

11. ①	12. ③	13. ③	14. ②	15. ③

16. ⑤	17. [eqn: 6]	18. [eqn: ROOT2]	19. [eqn: 1 OVER 3]	20. [eqn: 649]

21. [eqn: 17]

[eqn: lim_{n`->`inf}left{ a_n over n - {1+2+3+cdots+n} over{(2n-1)^2} right} =0`]

1

[eqn: a_n over n - {1+2+3+cdots+n} over{(2n-1)^2} =b_n`]이라고 하면

[eqn: lim_{n`->`inf} a_n over n = lim_{n`->`inf} left{{1+2+3+cdots+n} over{(2n-1)^2} +b_n`right}]	[eqn: = 1over8 +0 = 1over8]

[eqn: THEREFORE~ lim_{n`->`inf} {n-a_n}over{n+a_n}=lim_{n`->`inf} {1- a_n over n}over{1+ a_n over n} = {1- 1over8}over{1+ 1over8}= 7 over9]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` {4n+6}over{n(n+1)(n+2)(n+3)}]

2

[eqn: =lim_n->inf`sum _{ k=1} ^{n }` {4k+6}over{k(k+1)(k+2)(k+3)}]

[eqn: =lim_n->inf`sum _{ k=1} ^{n }` left{ 1over{k(k+1)} - 1over{(k+2)(k+3)}right}]

[eqn: =lim_n->inf`left{ 1over{1․2} + 1over{2․3}- 1over{(n+1)(n+2)} - 1over{(n+2)(n+3)}right}]

[eqn: = 1over2 + 1over 6 = 2over3]

[eqn: lim_n->inf``left(5- {an^2 +bn+1}over{3n+1} right)][eqn: =0`]이므로

3

[eqn: lim_n->inf`` {an^2 +bn+1}over{3n+1} =5`]

[eqn: lim_n->inf`` {an +b+ 1over n}over{3+ 1over n} =5`]에서   [eqn: a=0,~b=15`]

[eqn: ∴~a+b =15`]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n = A], [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }b_n = B]라고 하면

4

ㄱ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } { a_n + b _ n } over 2 = 1 over 2 left ( sum _{ n=1} ^{inf }a_n + sum _{ n=1} ^{inf } b_n right ) = 1 over 2 ( A+B)]

ㄴ. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} a_n]이 수렴할 때, [eqn: lim _{ n->inf} {a_n } =0]이고,

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } (a_k - a_k+1 )]

[eqn: = (a_1 - a_2 ) + (a_2 - a_ 3 ) + cdots + ( a_n - a_n+1 )]

[eqn: =a_1 - a_n+1]

이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }(a_n - a_n+1 ) = lim _{ n-> inf} { sum _{ k=1} ^{n } (a_k - a_k+1 ) }]

[eqn: = lim _{ n->inf} {(a_1 - a_n+1 ) }= a_1 - lim _{ n->inf} {a_n+1]	[eqn: = a_1 -0 = a_1 }]

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }b_n]이 수렴하므로    [eqn: lim _{ n->inf} { b_n }=0]

따라서 수열 [eqn: left { 1 over b_n right }]은 발산하므로 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }1 over b_ n]은 발산한다.

이상에서 수렴하는 급수는 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: {rmP}_n `left( 1over 3n-1 ,~0right),~{rmQ}_n` left(0,~ 1over 3n+2 right)`]이므로

5

[eqn: S_n = 1over2 cdot 1over 3n-1 cdot 1over 3n+2]

[eqn: = 1over{2(3n-1)(3n+2)}]

∴ [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`S_n``][eqn: =sum _{ n=1} ^{ inf}`1over{2(3n-1)(3n+2)}]

[eqn: =lim_n->inf` 1over6 sum _{ k=1} ^{ n}` left(1 over{ 3k-1} - 1over {3k+2} right)]

[eqn: =lim_n->inf `1over6 left(1 over{ 2} - 1over {3n+2} right)][eqn: = 1over12]

[eqn: a_n < a_n+1`]이고 모든 항이 양수이므로

6

[eqn: lim_n->inf`a_n =inf`]

[eqn: therefore~sum _{ n=1} ^{inf }` a_n over{a_n+1 `a_n+2}][eqn: =sum _{ n=1} ^{inf }` {a_n+2 -a_n+1 } over{a_n+1 `a_n+2}]

[eqn: =sum _{ n=1} ^{inf }`left(1over{a_n+1} - 1over a_n+2 right)]

[eqn: =lim_n->inf`sum _{ k=1} ^{n }`left(1over{a_k+1} - 1over a_k+2 right)]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ` LEFT ( {1} over {a _{2}} - {1} over {a _{n+2}} RIGHT ) `=` {1} over {3}]

[eqn: n^2 over{2n^2 +1} `<` sum _{ k=1} ^{ n}`a_k `<` {n^2 +2}over {2n^2 +1}]에서

7

[eqn: lim_n->inf`n^2 over{2n^2 +1} = 1over2 ,~lim_n->inf`` {n^2 +2}over {2n^2 +1} = 1over2]

이므로   [eqn: lim_n->inf` sum _{ k=1} ^{ n}`a_k `= 1over2]

∴ [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`a_n`=][eqn: lim_n->inf` sum _{ k=1} ^{ n}`a_k `= 1over2]

주어진 식의 양변을 [eqn: n(n+1)`]로 나누면

8

[eqn: a_n+1 over n+1 - a_n over n =2`]

위의 식의 [eqn: n]에 [eqn: 1, ~`2,~3,~ cdots, ~`n-1]을 차례로 대입하면

[eqn: a_2 over 2 - a_1 over 1 = 2]

[eqn: a_3 over 3 - a_2 over 2 = 2]

[eqn: vdots]

[eqn: a_n over n - a_n-1 over n-1 = 2]

위의 식을 변끼리 더하면   [eqn: a_n over n - a_1 over 1 = 2(n-1)]

[eqn: a_n over n = a_1 over 1 +2(n-1) =2(n+1)] [eqn: (BECAUSE~a_1 =4)]

[eqn: THEREFORE~a_n =2n(n+1)]

∴ [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`1over a_n][eqn: = sum _{ n=1} ^{inf }`1over {2n(n+1) }]

[eqn: = lim_n->inf`sum _{ k=1} ^{n }`1over {2k(k+1)} = 1over 2]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`1over{2^n-3 -2^n-2 +2^n-1 }`][eqn: = sum _{ n=1} ^{inf }`1over{2^n-3 (1-2+4) }`]

9

[eqn: = sum _{ n=1} ^{inf }`1over3 left(1over2right)^n-3 `][eqn: = {4over3}over{1- 1over2}][eqn: = 8over3]

[eqn: THEREFORE~a+b =3+8=11`]

[eqn: 9x^2 -6x -1=0``]의 근은 [eqn: x= {1+-root2}over3``]이므로

10

[eqn: dmatrix{`alpha` } `＜`1], [eqn: dmatrix{` beta`}`＜`1]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } alpha^n ,~ sum _{n=1} ^{INF } beta^n]은 수렴한다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = 2over3`,~alpha` beta =- 1over9``]

∴ [eqn: 1over{ beta- alpha}sum_n=1^inf ( beta^n - alpha^n )]

[eqn: = 1over{ beta- alpha}left( beta over{1- beta} - alpha over{1- alpha} right)]

[eqn: = 1over{ 1-( alpha+ beta)+ alpha beta}][eqn: = 9over2]

[eqn: S_n = 1over2^n + 3over 2^n +`cdots`+ {2^n -1} over 2^n]

11

[eqn: = 1over2^n cdot {{{2^n-1 } (1+2^n -1 )}over2][eqn: =2^n-2`]

∴ [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` 1over S_n`][eqn: = sum _{ n=1} ^{inf }` 1over 2^n-2][eqn: = {2}over{1 - 1over2}][eqn: =4`]

[eqn: log`1over A`]의 정수 부분이 [eqn: -n]이므로

12

[eqn: -n LEQ log`1over A <-n+1`],	[eqn: n-1 < log` A LEQ n`]

[eqn: therefore~10^n-1 < A LEQ 10^n`]

따라서 [eqn: a_n =10^n -10^n-1 = 9cdot10^n-1]이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` 18overa_n`][eqn: = sum _{ n=1} ^{inf }` 2 left( 1over10 right)^n-1][eqn: = {2}over{1- 1over10} = 20over9]

수열 [eqn: left{a_n right}`]은 [eqn: 1,```1,```0,``-1,``-1,```0]이 차례로 반복되

13

므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` a_n over 2^n]

[eqn: = 1over2 + 1over2^2 +0- 1over2^4 - 1over2^5 +0+ 1over2^7 + 1over2^8 +0]

[eqn: - 1over2^10 - 1over2^11 +0+cdots]

[eqn: = left( 1over2 - 1over 2^4 + 1over 2^7 - 1over 2^10 +cdotsright)]

[eqn: + left( 1over2^2 - 1over 2^5 + 1over 2^8 - 1over 2^11 +cdotsright)]

[eqn: = {1over2}over{1-left(- 1over8right)} +{1over4}over{1-left(- 1over8right)}][eqn: = 4over9 + 2over9][eqn: = 2over3]

[eqn: a= rm bar{OP _{1}} + rm bar{P _{2} P _{3}} + rm bar{P _{4} P _{5}} + `CDOTS][eqn: =1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {2 ^{4}} + CDOTS]

14

[eqn: = {1} over {1- {1} over {2 ^{2}}} = {4} over {3}]

[eqn: b= rm bar{P _{1} P _{2}} + rm bar{P _{3} P _{4}} + rm bar{P _{5} P _{6}} + `CDOTS][eqn: = {1} over {2} + {1} over {2 ^{3}} + {1} over {2 ^{5}} + `CDOTS]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {1} over {1- {1} over {2 ^{2}}} = {2} over {3}]

[eqn: THEREFORE~a+b= 4over3 + 2over3 =2`]

반원 [eqn: C_n`]의 둘레의 길이는 [eqn: l_n = left( {sqrt5 -1}over2 right)^n-1 `pi]이므로 수열 [eqn: left{l_n right}`]은 등비수열이다. 모든 반원의 둘레의 길이의 합을 [eqn: l``]이라고 하면

15

[eqn: l= pi + {sqrt5 -1}over2 pi + left( {sqrt5 -1}over2 right)^2 pi]	[eqn: + left( {sqrt5 -1}over2 right)^3 pi +⋯]

[eqn: = pi over{ 1- {sqrt5 -1}over2 }][eqn: = {2pi}over{3- sqrt5 }][eqn: = {3+sqrt5}over{2} pi`]

정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: a`]라고 하면 대각선의 길이는 [eqn: sqrt2`a`]이고, 내접원의 지름의 길이는 [eqn: a`]이므로 색칠한 작은 정사각형의 대각선의 길이는 [eqn: {(sqrt2 -1)a}over2]이다.

16

이때 색칠한 작은 정사각형의 한 변의 길이는

[eqn: {(sqrt2 -1)a}over{2sqrt2}][eqn: ={(2-sqrt2 )a}over{4}]

이므로 원에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이는

[eqn: a- {(2-sqrt2 )a}over{4} ×2= sqrt2 over2 a`]

따라서 [eqn: n`]번째 그려진 네 개의 정사각형과 [eqn: (n+1)]번째 그려진 네 개의 정사각형의 한 변의 길이의 비는

[eqn: a```:``` sqrt2 over2 a =sqrt2```:```1`]

수열 [eqn: left{S_n right}`]은 첫째항이

[eqn: S_1 = 4×left( {2-sqrt2}over 4 × 10right)^2 =150-100sqrt2]

이고 공비가 [eqn: left( 1over sqrt2 right)^2 = 1over2]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`S_n`][eqn: = {150-100sqrt2}over {1- 1over2 }][eqn: =300-200sqrt2`]

[eqn: a_n ={(n+1)^2 -n^2}over{1^2 +2^2 +3^2 +cdots+n^2}][eqn: = 6 over{n(n+1)}]

17

|해결 과정|

• 2점

[eqn: therefore~sum _{ n=1} ^{ inf`}`a_n`=sum _{ n=1} ^{ inf`}` 6over{n(n+1)}]

|답 구하기|

[eqn: =6`lim_n->inf`left(1- 1over n+1 right)][eqn: =6`]

• 3점

[eqn: 1over{sqrtk+1 `+sqrtk} < 1over{2 sqrtk} < 1over{sqrtk`+sqrt k-1`}]

18

에서    [eqn: {sqrtk+1 `-sqrtk} < 1over{2 sqrtk} < {sqrtk `-sqrt k-1`}]

이 식의 [eqn: k]에 [eqn: 1,``2,``3,`` CDOTS ,``n`]을 차례대로 대입하면

[eqn: {sqrt2 `-sqrt1} < 1over{2 sqrt1} < { sqrt 1`-sqrt0}]

[eqn: {sqrt3 `-sqrt2} < 1over{2 sqrt2} < { sqrt 2`-sqrt1}]

[eqn: {sqrt4 `-sqrt3} < 1over{2 sqrt3} < { sqrt 3`-sqrt2}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: {sqrtn+1 `-sqrtn} < 1over{2 sqrtn} < {sqrtn `-sqrt n-1`}]

위의 식을 변끼리 더하면

[eqn: {sqrtn+1 `-1} < 1over2 sum _{ k=1} ^{ n} 1over{ sqrtk} < {sqrtn }]	[eqn: THEREFORE~{2( {sqrtn+1 `-1}) }over root2n+1}< 1over root 2n+1 sum _{ k=1} ^{ n} 1over{ sqrtk} < {2sqrtn } over {root 2n+1}]그런데

[eqn: lim_{n->inf}{2( {sqrtn+1 `-1})}over {sqrt 2n+1} =lim_{n->inf} {2{sqrtn }}over{sqrt 2n+1} = 2over sqrt2 = sqrt2`]

이므로    [eqn: lim_{n->inf}` 1over {sqrt 2n+1} sum _{ k=1} ^{n }` 1over sqrtk`=sqrt2`]

[eqn: a_n = 1over2^n]이라고 하면

19

|해결 과정|

[eqn: (a_1 +a_2 +`cdots`+a_n )^2 =(a_1`^2 +a_2`^2 +`cdots`+a_n`^2 )]                          [eqn: +2(a_1 a_2 +`cdots`+a_n-1 a_n )`]

이므로

[eqn: a_1 a_2 +`cdots`+a_n-1`a_n][eqn: = 1over2 left{(a_1 +a_2 +`cdots`+a_n )^2 - (a_1`^2 +a_2`^2 +`cdots`+a_n`^2 )right}]

[eqn: THEREFORE~S_n = 1over2 left{ left(sum _{ k=1} ^{n }`a_k`right)^2 - sum _{ k=1} ^{n }`a_k`^2 right}]

• 2점

[eqn: THEREFORE~lim_n->inf`S_n = 1over2 left{ left(sum _{ n=1} ^{inf }`a_n`right)^2 - sum _{ n=1} ^{inf }`a_n`^2 right}]	[eqn: = 1over2 left{ left(sum _{ n=1} ^{inf }`1over2^n`right)^2 - sum _{ n=1} ^{inf }`1over2^2n right}]

|답 구하기|

[eqn: = 1over2left{ left( {1over2}over{1- 1over2}right)^2 - {1over4}over{1- 1over4 }right}} = 1 over 3]

• 3점

[eqn: log`_0.4`a_1 `a_2 ` cdotsa_n`=2n^2 +n]에서

20

[eqn: a_1 `a_2 ` cdotsa_n`=0.4^{2n^2 +n}]            …… ㉠

[eqn: a_1 `a_2 ` cdotsa_n-1`=0.4^{2(n-1)^2 +(n-1)}]  …… ㉡

[eqn: ㉠div ㉡]을 하면   [eqn: a_n =0.4^4n-1`][eqn: (n GEQ2)]

[eqn: log`_0.4`a_1 =3`]에서 [eqn: a_1 =0.4^3]이므로   [eqn: a_n =0.4^4n-1`]

[eqn: THEREFORE~ sum _{ n=1} ^{ inf}`a_n = sum _{ n=1} ^{ inf}`0.4^4n-1][eqn: = {0.4^3}over{1-0.4^4}][eqn: = 40over609]

[eqn: THEREFORE~ a+b`=609+40=649]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: n`]번째 그려진 한 개의 원의 중심을 [eqn: {rmO}_n`]이라 하고, 점 [eqn: {rmO}_n+1`]에서 마름모의 한 변에 내린 수선의 발을 [eqn: {rmH}_n+1`]이라 하면, 삼각형 [eqn: {rmO}_n {rmO}_n+1 {rmH}_n+1`]은 [eqn: ANGLE {rmO}_n+1 {rmO}_n {rmH}_n+1`=60 DEG`]인 직각삼각형이다.

21

|해결 과정|

[eqn: n`]번째 그려진 한 개의 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n`]이라 하고, 한 개의 원의 넓이를 [eqn: a_n`]이라 하면

[eqn: r_1 =1 ·sin60 DEG = sqrt3 over2]이므로    [eqn: a_1 =pi`r_1`^2 = 3over4 pi`]

또, [eqn: bar{{rmO}_n+1 {rmH}_n+1} = r_n+1`]이므로

[eqn: r_n+1 = 1over2 r_n `sin60 DEG = sqrt3 over4 r_n`]

[eqn: ∴~r_n =r_1 left( sqrt3 over4 right)^n-1 = sqrt 3 over 2 left( sqrt3 over 4 right)^n-1`]

[eqn: therefore~a_n = pi `r_n`^2][eqn: = {3pi}over4 left( 3over16 right)^n-1`]

[eqn: ∴~sum _{ n=1} ^{inf }`S_n`][eqn: =sum _{ n=1} ^{inf }`2^n`a_n][eqn: =sum _{ n=1} ^{inf }`2^n``· {3pi}over4 left( 3over16 right)^n-1`]

[eqn: =sum _{ n=1} ^{inf }` 3pi over2 left( 3over8 right)^n-1`][eqn: = {3pi over2 }over{1- 3over8}][eqn: = 12over5 pi`]

• 3점

[eqn: ∴~a+b = 5+12=17`]

|답 구하기|

• 2점